依据我国《刑事诉讼法》第九十一条之明确规定，倘若公安机关对某位已实施拘留措施之人，认为该人员有必要采取逮捕手段进行调查，那么应在实施拘留之日起的三日内，向当地人民检察院提交申请文件并请求其予以审核批复；如遇有特殊案例或情形，审核批准的期限可适当延长一天至四天。针对那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子，其提请审查批准的时间则可延长至三十日。人民检察院在收到公安机关递交的提请批准逮捕书之后，必须在七日内做出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。因此，食品销售行为是否构成犯罪，需结合具体案情及相关法律法规进行综合分析判断。若涉嫌犯罪，刑事拘留的时长可能因案件具体情况而异，然而根据上述法律条款，刑事拘留的最长期限不得超过三十日。若人民检察院未予批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放嫌疑人，同时将执行情况及时告知人民检察院。若仍需进一步侦查，且符合取保候审、监视居住条件者，依法对其实施取保候审或监视居住。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。”