在中国的刑事法律体系下，取保候审措施之延期事宜通常是由当初批准实施该项举措的相关司法机构所裁定的。
具体而言，取保候审的决定权在我们国家主要掌握在各级公安机关、人民检察院以及人民法院这三个部门手中，他们会依据每起案件的实际情况进行综合考量和判断。
因此，取保候审的延期问题自然也是由这些负责做出取保候审决定的公安机关、人民检察院或人民法院来最终决定的。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第七十九条
【取保候审、监视居住的期限及其解除】人民法院、人民检察院和公安机关对犯罪嫌疑人、被告人取保候审最长不得超过十二个月，监视居住最长不得超过六个月。
在取保候审、监视居住期间，不得中断对案件的侦查、起诉和审理。对于发现不应当追究刑事责任或者取保候审、监视居住期限届满的，应当及时解除取保候审、监视居住。解除取保候审、监视居住，应当及时通知被取保候审、监视居住人和有关单位。