关于刑事拘留后何时提出取保候审请求的适宜时机，实际上并无严格规定的固定期限可供参考。
通常而言，当犯罪嫌疑人遭受刑事拘留之后，在其37日的拘留期限之内进行取保候审申请的时机较为重要。
因在此阶段内，公安机关需向检察机关呈报批准逮捕请求，如若检察机关未能批准逮捕，则犯罪嫌疑人有相当大的可能获得取保候审的机会。
然而值得注意的是，取保候审是否能得到批准，还必须视乎案件的实际状况、犯罪嫌疑人所带来的社会危害性等诸多复杂要素而定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。