在刑事诉讼程序中，当犯罪嫌疑人或被告人身处于羁押状态时，根据法律规定，他们有权利在各个诉讼环节上提出取保候审请求。
具体而言，从案件的侦查阶段开始，一直到审查起诉和审判阶段，犯罪嫌疑人或被告人均可提出取保候审的申请。
通常情况下，在侦查阶段，如果公安机关认为有必要对被拘留者进行逮捕，那么他们应该在拘留期限结束前的三日内，向人民检察院提交审查批准的申请。
然而，在某些特殊情况下，这一期限可能会延长一天至四天。
对于那些流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑分子，其审查批准的申请期限则可以延长至三十日。
人民检察院应在收到公安机关提交的批准逮捕申请书后的七日内，做出是否批准逮捕的决定。
若人民检察院未批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放相关人员，并将执行情况及时告知人民检察院。
对于需要进一步侦查且符合取保候审或监视居住条件的案件，依法采取相应措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。