对于自首情况下取保候审申请的处理方法，须按照我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的具体规定进行深入的剖析。倘若该犯罪嫌疑人的自首行径，恰巧满足了取保候审所设定的条件之一，如“可能会被判处管制、拘役，或者是能够独立适用附加刑的案件”或者“可能会被判处有期徒刑以上的刑罚，但采取取保候审并不会导致产生社会危害性的情况”等。同时，若其自首的举动展现出该犯罪嫌疑人的悔过之意，并且也没有给社会带来任何潜在的威胁，那么在这种情况下便可考虑对其实施取保候审。而取保候审这一决定则将由公安机关负责执行。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。