依据《中华人民共和国刑法诉讼法》的相关条款，针对年龄达到72周岁的犯罪嫌疑人或被告人，倘若具备取保候审的各项资格与条件，符合法定程序，那么他们有权提出取保候审申请。更为详尽的说，若这名年过古稀的当事人，面临有可能被判处管制、拘役甚至单独实行所附自由刑期，或是预见将会被判处有期徒刑之上的严厉处罚，同时，采取取保候审措施不会对公共安全构成威胁；又或者是由于身体患有严重疾病导致生活无法自理，抑或是孕妇或者正在喂养自己新生幼儿的母亲，考虑到取保候审不会触犯社会安全防线；乃至因羁押期间临近结束、案件尚未断决，而需加以取保候审等各方面因素，均可提交取保候审申请。律师或代理人均需协助辩护人普通公民完成申请过程。取保候审工作将由公安机关进行。在提出取保候审申请的同时，申请人还需向人民法院、人民检察院或公安机关递交详细的请求及明确的证据材料，以正当理由表明该名72岁的犯罪嫌疑人或被告人享有取保候审的资质。当判定其符合取保候审的准入标准后，法院、检察院或公安机关会根据实际情况决定是否批准取保候审申请，并由公安机关履行相应职责。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。