依据我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条明文规定，犯罪嫌疑人或者被告人在被拘留以后，可以由人民法院、人民检察院以及公安机关根据案件的实际情况依法做出是否实施取保候审措施的决定。然而，此项法律条款并没有明确规定适用取保候审的具体期限限制，而需根据每起案件的详细情况进行决定是否采取这项措施。因此，在遭遇拘留之后，犯罪嫌疑人或被告何时可以获得取保候审资格，这实际上取决于相关案件的具体情况以及司法机关的综合判断。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。