在遭受刑事拘留期间，请求取保候审的程序主要包含以下几个环节：首先，由涉嫌违法行为的当事人或其亲属，或者当事人所委托的律师向案件处理机构（通常为相关公安机关）递交书面申请。其次，依据相应法规，在提出申请时往往需要提供两名保证人为其担保，或者向监管机构交纳一定数额的保证金以确保当事人能够接受传讯。再者，案件处理机构将对所提交的申请进行认真审查，如果确认满足所有要求，将依法批准取保候审的请求。最后，签署取保候审决定书，以及按照相关指令展开取保候审的具体行动。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。