关于进入拘留所之后申请取保候审的相关期限，在《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条中并未做出明确规定。这一条款仅仅阐述了在何种特定情境之下可以依法提出取保候审申请，且该申请需由公安机关予以执行。
至于取保候审的实际操作流程、具体条件以及适用期限等方面内容，则主要取决于公安机关根据案件本身特点及相应法律法规所做的评估与判断。因此，要准确回答“被送往拘留所之后多长时间内可以提出取保候审申请”这个问题，我们无法提供一个确定的答案。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”