当公安机关在同一天批准了取保候审申请时，这通常预示着该案件并不严重。在法律实践中，取保候审适用于那些潜在犯罪行为可能被判处罚金或其他轻微刑事处罚、也可能被判处一定期限徒刑以上的刑罚，但是通过实施取保候审，不会给社会带来明显危害的犯罪嫌疑人。
然而，需要注意的是，取保候审的批准并非仅仅取决于案件的严重程度，而是综合考虑多种因素后作出的决定。一般来说，如果公安机关和检察机关能够批准取保候审，那么该案件的情节通常并不严重。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。