在交通事故的处理过程中，对于受伤人员医疗费用的预先支付并无明确的法律规定具体的责任承担方。
通常情况下，这笔费用的支付可能由肇事方、受害方个人、投保的保险机构或者道路交通事故社会救助基金予以先行垫付。
当面临医院紧急催促支付医药费的情况时，首先应尽最大努力与肇事方进行充分的沟通协商，以寻求他们是否愿意先行垫付相关费用。
倘若肇事方对此表示拒绝，那么您可以尝试联系您所驾驶车辆的投保保险公司，在其责任范围内提出垫付申请。
如果满足相应的条件要求，道路交通事故社会救助基金亦有可能为您提供一定程度上的援助支持。

《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条
保险公司可以向被保险人赔偿保险金，也可以直接向受害人赔偿保险金。但是，因抢救受伤人员需要保险公司支付或者垫付抢救费用的，保险公司在接到公安机关交通管理部门通知后，经核对应当及时向医疗机构支付或者垫付抢救费用。