为了启动申请执行对方拖欠款项且未履行还款责任的相关诉讼，同时寻求法律援助，在程序上，您首要的任务便是准备好已经正式生效的法律文书，诸如经过审判机关确认的判决书或经由调解员协商达成的调解书等等。
接着，您须前往当地区域的法律援助机构提交申请，通常情况下，您需要向他们递交身份证件以及能够证明您经济状况处于困境中的相关证明文件。
根据规定，法律援助机构将针对您所提交的申请进行详尽的审核工作。
若经核查，您的申请资料符合相关要求，援助机构将会为您委派一位资深律师担任您的执行手续办理代理人。
至于执行申请程序方面，您需要向具有管辖权力的法院提交书面请求，格式内容应当包含执行申请书及被申请人名下的财产的详细信息。
综上所述，执行欠款不还诉讼通常是一个繁琐而细致的过程，需要您在申请中保持积极配合和耐心等待。

《法律援助条例》第十条
公民对下列需要代理的事项，因经济困难没有委托代理人的，可以向法律援助机构申请法律援助：（一）依法请求国家赔偿的；（二）请求给予社会保险待遇或者最低生活保障待遇的；（三）请求发给抚恤金、救济金的；（四）请求给付赡养费、抚养费、扶养费的；（五）请求支付劳动报酬的；（六）主张因见义勇为行为产生的民事权益的。省、自治区、直辖市人民政府可以对前款规定以外的法律援助事项作出补充规定。公民可以就本条第一款、第二款规定的事项向法律援助机构申请法律咨询。