律师解析：
当您将款项借予他人，却遭遇逾期未还的情况时，可依照我国《中华人民共和国民事诉讼法》中的第一百二十三条以及第二百四十三条相关规定进行有效处理。
在处理过程中，您需要完成以下步骤：
首先，您有权向人民法院提交申诉材料，以明确主张对方归还相应欠款。
若您对于撰写书面申诉材料存在困难，亦可选择口头申诉，由人民法院记录在案，并通知对方当事人。
其次，若经人民法院裁定，判定对方负有偿还欠款之义务，然而其仍拒绝履行，此时您便可向人民法院提出申请，请求法院强制执行该项裁决。
若对方依然拒绝履行，法院有权将案件移交执行人员进行执行。
此外，若涉及到调解书及其他应由人民法院执行的法律文书，如对方同样拒绝履行，您亦可向人民法院申请执行。
总而言之，您可以通过法律手段来解决借款逾期未还的问题，其中包括提起诉讼、申请执行等多种方式。