当遇到老赖拒付孩子抚养费的情况时，可通过以下方式妥善处理：
一、协商解决
这是解决问题的第一步。
可以选择一个合适的时间和地点，与老赖进行面对面的沟通。
在沟通时，要清晰、冷静地向对方阐述支付抚养费是法定的责任和义务，关乎孩子的健康成长和基本生活保障。
详细说明孩子在生活、教育、医疗等方面的实际需求，让对方明白支付抚养费的必要性和重要性，要求其切实履行支付责任。
二、申请司法调解
若协商无法解决问题，可向法院申请司法调解。
法院工作人员会依据相关法律法规，秉持公平公正的原则介入调解。
他们会倾听双方的诉求和想法，从中斡旋，尽力促使双方就抚养费的支付金额、支付方式、支付时间等具体问题达成一致，并形成具有法律效力的调解协议。
三、申请强制执行
要是协商和调解都没有取得理想的结果，那就需要向法院提起诉讼。
在获得胜诉判决后，如果老赖仍然拒不支付抚养费，就可以向法院申请强制执行。
法院有权采取多种强有力的措施，例如查询、冻结、划拨其银行存款，查封、扣押、拍卖其名下的房产、车辆等财产，以保障抚养费的顺利执行。
四、信用惩戒
此外，还可将老赖列入失信被执行人名单，对其进行信用惩戒。
限制其乘坐飞机、高铁等高消费行为，使其在社会生活的诸多方面受到制约，从而迫使其履行支付抚养费的义务。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李拒付孩子抚养费。小朱先与小李协商，强调支付抚养费的法定责任及孩子需求，小李仍拒绝。后申请司法调解，双方未就抚养费支付问题达成一致。小朱起诉胜诉后，小李依旧不支付，小朱申请强制执行，争议点在于小李始终不愿履行支付义务。

案情分析:

1、小朱与小李协商时，小李拒绝支付，说明其缺乏对自身法定责任的认识，未考虑孩子的基本生活保障需求。
2、司法调解未成功，表明双方在抚养费支付的具体问题上存在较大分歧，小李未配合调解。
3、小李在胜诉判决后仍不支付，小朱申请强制执行是合理合法的，法院有权采取措施保障执行。
4、将小李列入失信被执行人名单进行信用惩戒，能对其形成制约，促使其履行义务。