依据我国相关法律规定，针对因涉嫌非法活动而被刑事拘留的人员，一旦超过七日的司法留置期，其面临的情况通常包含以下两种主要情形。
首先，若公安机关在对案件进行深入调查之后，发现还有必要继续展开侦查工作，同时也掌握了充分的证据来证明犯罪嫌疑人的确存在着犯罪行为，那么他们便有权利向当地检察院提交申请，请求批准逮捕犯罪嫌疑入。
检察院则需在收到申请后的七日内，根据实际情况做出是否批准逮捕的决定。
倘若检察院未能批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放该名犯罪嫌疑人，并将执行情况及时通报给检察院。
其次，如果公安机关认为仍需进一步开展侦查工作，且犯罪嫌疑人具备取保候审或监视居住的条件，他们有权依法采取相应措施。
总而言之，当刑事拘留期限超过七日后，案件的发展方向将取决于公安机关的侦查成果以及检察院的批捕决定。
在此期间，被拘留人的家属可以适时委托律师，以便更好地了解案件的最新动态，并获得专业的法律援助。