倘若亲属因为盗窃燃油而遭到司法部门的刑事拘禁，家属可依法采取以下相关行动：
第一步是要保持镇静，莫要因此而慌乱得不知所措；
然后应尽早同相关办案机关或法院进行联系，以把握了解亲戚在案件中所涉罪名以及案件相关的详细情况，然而需要记住的是，我们必须遵守未经授权不得干扰案件侦查的规定。
此外，还可以考虑委托一位具有资质的律师作为辩护人，这样律师便能有机会与嫌疑人见面，深入了解案件的具体情况，并为其提供必要的法律援助及辩护服务。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条
【委托辩护的时间】犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
【委托辩护的形式】犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
【辩护人的告知义务】辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。