根据我国现行法律法规的规定，取保候审的申请事宜可贯穿于刑事司法程序的各个环节，即侦查阶段、审查起诉阶段以及审判阶段。
具体而言，侦查阶段中，当公安机关决定对罪犯嫌疑人实施强制措施之后，倘若其认定该犯罪嫌疑人具备取保候审的资格与条件，那么犯罪嫌疑人、被告人及他们的法定代理人、近亲属或辩护律师均有权利提出相应申请。
至于审查起诉阶段，从人民检察院收到案件移送审查起诉的相关资料的那一天算起，三日内，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护律师亦可提出取保候审的申请。
最后，在审判阶段，无论何时人民法院正式受理案件，被告人及其法定代理人、近亲属或辩护律师都有权提出取保候审的请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。