通常情况下，在犯罪嫌疑人被拘押之后，倘若出现以下几个方面的因素，他们便有资格向相关部门提出取保候审的申请。
首先，如果犯罪嫌疑人所涉及的罪名可能会被判处管制、拘役或者独立适用附加刑的话，那么他们就具备了申请取保候审的条件之一。
其次，如果犯罪嫌疑人所面临的刑期可能超过有期徒刑，但通过采取取保候审措施并不会对社会造成明显的危害性，那么他们也同样符合申请取保候审的要求。
再者，如果犯罪嫌疑人患有严重疾病、生活无法自理，或者是孕妇或正在哺乳期的母亲，并且采取取保候审措施并不会对社会产生危害性，那么他们也具有申请取保候审的资格。
最后，如果犯罪嫌疑人已经被羁押了一定时间，但是案件仍然没有得到妥善处理，此时为了保证案件的顺利进行，他们也有权利申请取保候审。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。