当交通事故认定书已经出来，然而对方却没有报保险时，你可以按以下步骤来处理：
首先，对于因事故产生的相关医疗费用以及其他合理的支出，你要先自行垫付。
这一步非常关键，一定要妥善保留好所有的票据，这些票据将是你后续主张赔偿的重要依据。
接着，要与对方进行积极的沟通，明确要求对方尽快去履行保险报案的义务。
要让对方清楚地知道，如果他不报案，那么在后续的赔偿过程中，他可能需要自己承担全部的赔偿责任。
倘若对方依然不配合，你就可以依据交通事故认定书来向对方主张赔偿。
在这一过程中，有多种解决方式可供选择，比如可以先尝试通过协商的方式，双方友好地沟通并达成赔偿协议；如果协商不成，还可以向交通事故发生地或者被告住所地的法院提起诉讼。
通过诉讼，你能够要求对方赔偿你的各种损失，其中包括医疗费、误工费、护理费等等。
此外，还需要特别注意诉讼时效的问题，一般情况下诉讼时效为三年，从你知道或者应当知道自己的权利被侵害之日起开始计算。
所以要及时采取行动，避免因为超过诉讼时效而导致自己的权益无法得到有效保障。

案情回顾:

小朱与小李发生交通事故，交警出具了交通事故认定书。之后小朱发现小李未报保险，小朱自行垫付了医疗费用等合理支出并保留票据。小朱要求小李报保险，小李拒不配合。小朱想向小李索赔，在协商还是诉讼间犹豫，还担心诉讼时效问题。

案情分析:

1、小朱自行垫付费用并保留票据是正确的，这为后续索赔提供了证据。
2、小李不报保险且不配合小朱索赔要求，小朱有权依据交通事故认定书向小李主张赔偿。
3、小朱可先尝试协商解决赔偿问题，若协商不成可向事故发生地或被告住所地法院诉讼，同时需注意三年诉讼时效。