如果拥有抚养权的一方未能履行抚养义务，会引发一系列后果，具体如下：
一、民事责任方面
1.抚养权可能变更：当一方不履行抚养义务时，另一方有权向法院提起诉讼，请求变更抚养权。
在相关法律规定中，若一方明显未尽到抚养责任，因为法院在判定抚养权归属时，首要考虑的是孩子的利益和成长环境。
2.需支付相关费用：不履行抚养义务的一方可能需要支付抚养费等必要费用，以此保障子女在生活、教育、医疗等方面的需求。
二、刑事责任方面（情节严重时）
若对年幼、患病或者其他没有独立生活能力的子女，负有抚养义务却拒绝抚养，且情节恶劣，就可能构成遗弃罪。
按照《刑法》规定，犯遗弃罪的，将被处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
总之，既然拥有抚养权，就应当切实履行抚养义务，从生活的方方面面关心照顾子女，保障他们健康成长。
否则，必然要承担相应的法律责任。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小朱获得孩子抚养权，但小朱长期不照顾孩子生活起居，孩子常处于无人照料状态。小李见状，向法院请求变更抚养权，并要求小朱支付孩子相关费用，双方就抚养权及费用支付产生争议。

案情分析:

1、关于抚养权变更，小朱作为拥有抚养权一方，长期不履行抚养义务，明显未尽到抚养责任，按照相关法律，法院会以孩子利益和成长环境为首要考量，大概率支持小李变更抚养权的诉求。
2、小朱不履行抚养义务，需支付抚养费等必要费用，保障孩子生活、教育、医疗等需求。若小朱行为情节恶劣，如将孩子遗弃在无人场所，还可能构成遗弃罪，承担刑事责任。