六岁孩子的抚养权是能够变更的，一般存在以下几种常见情况：
一、协议变更
当父母双方经过充分沟通和协商，达成一致意见，均同意对孩子的抚养权进行变更，并且这种变更不会给孩子的成长带来不利影响时，就可以通过签订变更抚养权协议来完成变更手续。
例如，父母双方可能因为工作调动、生活环境变化等原因，认为孩子跟随另一方生活更有利于其成长和发展。
在这种情况下，双方需要在协议中明确约定抚养权的变更事项，包括探视权、抚养费的支付等具体内容，以确保孩子的权益得到保障。
二、诉讼变更
如果一方提出变更抚养权的要求，而另一方不同意变更，那么提出变更的一方可以向法院提起诉讼。
法院在审理此类案件时，会综合考虑多方面因素，从有利于孩子成长的角度作出判决。
另外，若孩子已满八周岁，其明确表示愿意跟随另一方生活，且该方具备抚养孩子的能力，法院也会考虑支持变更抚养权的请求。

案情回顾:

小朱和小李离婚时约定六岁孩子由小朱抚养，后小李工作调动到教育资源更好的城市，小李提出变更抚养权，小朱却不同意，双方产生争议。小李遂向法院提起诉讼，请求变更抚养权。

案情分析:

1、从协议变更角度看，双方未能协商一致达成变更抚养权协议，所以无法通过此方式变更。
2、从诉讼变更分析，小李工作调动到教育资源优的城市，若孩子跟随生活可能更有利。但小朱不同意，法院需综合考虑，若认定小李的新环境对孩子成长更有益，且不存在不利于孩子的其他因素，可能支持小李变更抚养权的诉求。