在原配抚养私生子这种较为特殊的情况下，离婚时私生子的抚养权归属问题确实需要综合多方面的因素来进行判断。
首先，原配如果具备抚养孩子的能力，
然而，另一方面，如果另一方也拥有抚养能力，并且能够通过相关证据证明自己更有利于孩子的成长，
需要强调的是，私生子的权益同样受到法律的严格保护。
无论最终孩子的抚养权归谁所有，另一方都必须承担相应的抚养费用等义务，以确保孩子的生活不受影响。
总之，具体的抚养权归属不能一概而论，而是要根据每个个案的实际情况，由法院依据相关的法律规定以及孩子利益最大化的原则来进行判定。
这样才能最大程度地保障孩子的权益，确保他们在离婚后的生活能够稳定、健康地继续下去。

案情回顾:

小朱与小李婚后，小朱发现小李有私生子小静。后二人离婚，在抚养权归属上产生争议。小朱有抚养能力和意愿，能提供稳定环境；小李称自己与小静感情深、互动多，更利于其成长，双方争执不下。

案情分析:

1、小朱具备抚养能力和强烈意愿，且能提供稳定生活环境，这符合法院判定抚养权时考虑的因素，有可能使其在争夺小静抚养权时占据优势。
2、小李若能提供与小静感情深厚、互动较多等相关证据，证明自己更有利于小静成长，也有机会获得抚养权。无论抚养权归谁，另一方都需承担抚养费用。