依据我国《刑法》第91条之明文规定，公安部门如若遇到被拘留对象，且认为其有必要接受进一步逮捕的可能时，必须在拘留之日起的三个自然日内，正式向人民检察院提出相应申请，并请求其进行审查批准。
而在特定情形之下，此申请有效期则可延长一天至四天不等。
若涉及到流窜作案、屡次犯案与团伙作案等重大嫌疑分子，申请期限还可再延长三十天。
之后由人民检察院在收到公安部门递交的逮捕申请书后的七个自然日内，依法作出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。
值得注意的是，故意损毁文物的行为性质已经构成了刑事犯罪。
因此，当此类犯罪嫌疑人被公安部门拘留后，若被认定为需要接受进一步逮捕，根据相关法律法规，公安部门应在拘留之日起的三个自然日内，正式向人民检察院提出相应申请，并请求其进行审查批准。
然而，在特定情形之下，此申请有效期则可延长一天至四天不等。
若涉及到流窜作案、屡次犯案与团伙作案等重大嫌疑分子，申请期限还可再延长三十天。
之后由人民检察院在收到公安部门递交的逮捕申请书后的七个自然日内，依法作出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。
因此，从理论上来讲，故意损毁文物罪的嫌疑人在被刑事拘留后，其可能会在拘留之日起的三个自然日至三十天内被提请审查批准逮捕。
但实际上，拘留的具体天数将取决于案件的具体情况以及公安部门的判断。
一旦嫌疑人获得批准逮捕，他将会进入逮捕后的侦查阶段，直到侦查工作结束后，才会将案件移交检察机关进行审查起诉。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。