依据我国现行《中华人民共和国刑法》第一百三十三条之所述，若履带式挖掘机驾驶员于公路之上驾驶过程中违背了交通运输的基本规则，从而酿成严重后果，致使人员丧生，则该名驾驶员极有可能被判定为触犯交通肇事罪。至于具体的刑事处罚，将视事故的详细情形以及驾驶员的行为而定。若在事故发生后，驾驶员未选择逃避责任且无其他特别恶劣的情节，那么他可能面临三年以下有期徒刑或拘役的惩罚；反之，若存在逃逸行为或其他特别恶劣的情节，则可能被处以三年以上、七年以下有期徒刑；倘若因逃逸行为导致人员死亡，那么他可能会被判处七年以上的有期徒刑。

《中华人民共和国刑法》第一百三十三条
违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。