关于母亲留下的房产究竟是由儿子还是继子继承的问题，需要根据不同情况具体分析，以下为你详细阐述：
1.有遗嘱的情况：
遗嘱是母亲生前对自身财产处分的一种重要方式。
若母亲立下了合法有效的遗嘱，并且在遗嘱中清晰明确地指定了房产由儿子或者继子其中一方继承。
这里的合法有效，意味着遗嘱的订立符合相关法律规定，比如母亲在订立遗嘱时具备完全民事行为能力，遗嘱的形式和内容也符合法律要求等。
那么，在这种情况下，就应当严格按照遗嘱的内容来执行，房产自然而然地归被指定的那一方所有。
2.没有遗嘱的情况：
当母亲没有留下遗嘱时，房产的继承就需要按照法定继承的规定来办理。
儿子作为母亲的亲生子女，毫无疑问属于第一顺序继承人。
而对于继子而言，关键在于其是否与母亲形成了抚养关系。
具体来说，如果母亲在继子成长过程中，对其进行了抚养教育，提供了生活、学习等方面的支持，并且继子在母亲晚年也对母亲尽到了赡养义务，比如在生活上照顾、经济上支持等，那么继子同样属于第一顺序继承人。
此时，儿子和继子一般享有平等的继承权，共同继承该房产。
反之，若继子未与母亲形成抚养关系，那么他就不能继承该房产，房产则由儿子继承。

案情回顾:

小朱的母亲去世后留下一处房产，小朱（亲生儿子）和小李（继子）就房产继承产生争议。小朱认为自己是亲生儿子理应继承，小李则称自己也应继承。关键争议在于母亲有无遗嘱以及小李与母亲是否形成抚养关系。

案情分析:

1、若母亲留有合法有效遗嘱，且指定由小朱或小李其中一方继承，那么房产就归被指定的一方。因为合法有效的遗嘱是对自身财产的有效处分，应按遗嘱执行。
2、若没有遗嘱，小朱作为亲生子女是第一顺序继承人。小李若与母亲形成抚养关系，尽到赡养义务，则同样是第一顺序继承人，与小朱共同继承房产；若未形成抚养关系，则不能继承，房产由小朱继承。