倘若被采取保释措施的被告在其保释期间遭遇不测过世，根据我国现行的刑事诉讼法规则，此类案件通常将被终止审理。在此种情形下，法院将会根据实际情况做出撤销案件或宣告无罪的裁决，原因在于被告已经无法出席法庭接受审判。对于被告家属而言，他们有权依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十三条的规定来处理与此案相关的各项事务。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十三条：
在侦查过程中，发现不应对犯罪嫌疑人追究刑事责任的，应当撤销案件；犯罪嫌疑人已被逮捕的，应当立即释放，发给释放证明，并且通知原批准逮捕的人民检察院。